Question

怎么判断分段函数是不是初等函数

Answer 1

判断：分段函数，不能算是初等，除非它能用另一种方式写成一个解析式。也就是分段函数可以用一个式子表示出来。

初等函数（elementary function）：包括代数函数和超越函数。初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次的四则运算（有理运算）及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起重要作用。

所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数。

而基本初等函数又是下面这些： 

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

 （2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数） 

 （3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

 （4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1） 

 （5）三角函数：
正弦函数 y =sin(x)
余弦函数 y =cos(x)
正切函数 y =tan(x)也记成y =tg(x)
余切函数 y =cot(x)也记成y =ctg(x)
正割函数 y =sec(x)
余割函数 y =csc(x) 

（6）反三角函数：
反正弦函数 y =arcsinx
反余弦函数 y =arccosx
反正切函数 y =arctanx
反余切函数 y =arccotx
(反正割函数、反余割函数一般不用)

Answer 2

分段函数往往不是初等函数，因为它不满足初等函数的定义。这个分段函数连函数也不是，应为x=0,有两个y值0和2与之对应，不符合函数定义。这个分段函数“取消一个等号”后也不是，它的定义域仍然是[-2,2),但不连续。在定义域的区间上不连续的函数，一般认为不是初等函数。