Question

函数f(x)=(sinx)^2+2√3sinxcosx+3(cosx)^2-2.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间（2）若关于x的不等式

函数f(x)=(sinx)^2+2√3sinxcosx+3(cosx)^2-2.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间（2）若关于x的不等式f(x)-m＜0在x∈（-π/6，π/3）上恒成立，求实数m的取值范围.请详细回答，谢谢

Answer 1

解：f(x)=sin^2x+2x3^1/2sinxcosx+3cos^2x-2(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间（2）若关于x的不等式f(x)-m<0在x属于（-pai/6,pai/3)上恒成立，求实数m的取值范围。
解：（1）f(x)=(1-cos2x)/2+3^1/2sin2x+3x(1+cos2x)/2-2
f(x)=1/2-1/2cos2x+3^1/2sin2x+3/2+3/2cos2x-2
f(x)=3^1/2sin2x+cos2x
f(x)=(3+1)^1/2sin(2x+b)=2sin(2x+b)
tanb=1/3^1/2=3^1/2/3,-pai/2<b<pai/2,
tan在（-pai/2,pai/2)上单调递增，单调，所以tanb=3^1/2/3在（-pai/2,pai/2)上的解是唯一的，b=arctan3^1/2/3=pai/6:(-pai/2,pai/2),-90<30<90,
f(x)=2sin(2x+pai/6)
T=2pai//2/=2pai/2=pai,
答：最小正周期是pai.
令t=2x+pai/6,f(t)=2sint,w=sint,f(w)=2w,fw在R上单调递增，f(x)的单调递增区间，增增得增，增减得减，因为f(w）关于w在R上是增函数，那么要f(x)的单调递增区间，也就是在这个区间上f(t)的单调递增，也就是求sin(2x+pai/6)的单调递增区间，
sin(2x+pai/6)在该区间上单调递增，然后f(w)在R上单调递增，增增得增，f(x)在该区间上单调递增，
sint的单调递增区间，(2kpai-pai/2,2kpai+pai/2),因为最小正周期是2Pai,所以周期的通项为k*Tmin=k*2pai(k:Z),得出一个递增区间的特解，然后两个端点处加上周期的通项。

令t=2x+pai/6,代入这个区间，
2kpai-pai/2<2x+pai/6<2kpai+pai/2
2kpai-pai/2-pai/6<2x<2kpai+pai/2-pai/6
2kpai-2pai/3<2x<2kpai+pai/3
kpai-pai/3<x<kpai+pai/6
所以该函数的单调递增区间为（kpai-pai/3,kpai+pai/6),k:Z,最小正周期的整数倍一定是这个函数的周期，即周期的通项。
答：单调递增区间（kpai-pai/3,kpai+pai/6),对于取相同值得k,右端点-左端点=pai/2>0,无论k取何实数，右端点>左端点恒成立。Z真包含于R,范围比R小，是R的子区间，在R上成立，那么在Z上一定成立。
（2）f(x)<m在（-pai/6,pai/3)上恒成立，
函参分离，
f(x)函数在左边，m是参数在右边
f(x)在（-pai/3,pai/6)上<m恒成立，
等价于f(x)在（-pai/3,pai/6)上的最大值<m,
f(x)=2sin(2x+b)=2sin(2x+pai/6)
令t=2x+pai/6,t在R上单调递增，（-pai/3,pai/6)真包含于R,（-pai/3,pai/6)上单调递增，
x=-pai/3,tmin=2x(-pai/3)+pai/6=-2pai/3+pai/6=-4pai/6+pai/6=-3pai/6=-pai/2
x=pai/6,tmax=2xpai/6+pai/6=3xpai/6=pai/2
t：（tmin,tmax)=(-pai/2,pai/2)
f(t)=2sint在（-pai/2,pai/2)上的最大值，
sint在（-pai/2,pai/2)上单调递增，（-pai/2,pai/2)是sint的一个单调递增区间，t=-pai/2,sintmin=sin(-pai/2)=-sinpai/2=-1,t=pai/2,sintmax=sin(pai/2)=1,sint:(-1,1),因为-pai/2取不到，所以sin(-pai/2)=-1取不到，pai/2取不到，所以sin(pai/2)=1取不到，所以值域的区间两边都是开区间。

y=2sint，令w=sint,w:（-1,1）
y=2w,
y在R上单调递增，（-1,1）真包含于R,所以在（-1,1）上单调递增，
y:(-2,2)
y<m恒成立，
ymax<m,如果y取得到最大值，比如ymax=2,则2<m,m>2,
但是y的最大值取不到，即右端点为开区间，
则2<=m,
m>=2,
或者这样理解，m>y恒成立，y:(-2,2)
m>该范围的上界2，m>2>y>-2,m>y,成立
2.m=2,-2<y<2=m,-2<y<m,y<m,m>y成立
所以两种情况的结果相同，所以合并条件，m>=2,m>f（x)成立。
两个结果相同，能够合并，即合并条件。
比如三局两胜，A已经赢了2局，2:0，第三局没有必要再战了，
因为1.第三局A胜，则3:0，A胜
2.第三局A败B胜，则2:1，A胜
两种情况的结果都是A胜，是相同的，所以两种情况能合并。
综上所述，第三局A胜或B胜，结果是A胜UA胜=A胜。
所以最终的结果与第三局的结果无关，无论第三局A胜还是B胜，最终的结果都是A胜，所以第三局已经没有比赛的意义，结果已成定局。

Answer 2

（1）、f(x)=(sinx)²+2√3sinxcosx+3(cosx)²-2=(sinx)²+(cosx)²+√3sin2x+2(cosx)²-2
=1+√3sin2x+2×(1+cos2x)/2-2=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π/6)，
最小正周期为T=2π/2=π，
当-π/2+2kπ≤2x+π/6≤π/2+2kπ时，函数单调递增，
此时x∈[-π/3+kπ，π/6+kπ]，k为整数。
（2）、f(x)=2sin(2x+π/6)，当x∈（-π/6，π/3）时，2x+π/6∈（-π/6，5π/6），
此时f(x)min=f(-π/6)=-1，f(x)max=f(π/6)=2
f(x)-m＜0在x∈（-π/6，π/3）上恒成立，则f(x)max<m，∴m≥2