Question

已知曲线y=(1/3)x^3的切线过一点P(2,8/3),求过点P的切线方程

Answer 1

∵xp=2
yp=8/3=(1/3)xp³
∴P点在y=(1/3)x³上
∵y′=x²
在P点。k=y′|p = 2² = 4
∴过P点的切线之一为：
y=4(x-2)+8/3 = 4x-16/3

假设存在第二条切线，切点为Q（m，(1/3)m³）
斜率k2=y′|q = m²
k2 = (yQ-yP)/(xQ-xP)
m² = {(1/3)m³-8/3}/(m-2)
3m² = {m³-8}/(m-2) = (m-2)(m²+2m+4)/(m-2)
3m² =m²+2m+4
m²-m-2=0
(m+1)(m-2)=0
∴m=-1
切点Q（-1，-1/3），斜率k2=(-1)²=1
第二条切线为：y=x-2+8/3=x+2/3

综上：
切线一：y=4x-16/3
切线二：y=x+2/3