Question

已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cosC＋c＝2

已知在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cosC＋c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
注意是锐角三角形，答案是(1+√3，3]

Answer 1

解：
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴2acosC+c=2b，
2sinAcosC+sinC=2sinB
2sinAcosC+sinC=2sin（A+C）
2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC
sinC=2cosAsinC
2cosA=1
cosA=1/2
cosA=（b²+c²-a²）/2bc=（b²+c²-1）/2bc=1/2
b²+c²-1=bc
（b+c）²-1=3bc，
∵bc≤1/4（b+c）²
∴（b+c）²-1≤3/4（b+c）²，
∴（b+c）²≤4
∴b+c≤2，
∴a+b+c≤3，
∵b+c＞a（三角形两边之和大于第三边），
∴a+b+c＞2，
∴△ABC的周长取值范围（2，3]

追问

注意是锐角三角形，答案是（1+√3，3]

追答

解到cosA=1/2时，改为下面：

A=60°，

则B+C=120°，

a/sinA=b/sinB=c/sinC，

1/(√3/2)=b/sinB=c/sin（120°-B)，

b=2√3/3sinB，c=2√3/3sin（120°-B），

a+b+c=1+2√3/3（sinB+√3/2cosB+1/2sinB）=1+2√3/3(3/2sinB+√3/2cosB)

=1+2（√3/2sinB+1/2cosB）=1+2sin（B+30°），

∵30°＜B＜90°，

∴60°＜B+30°＜120°，

∴√3/2＜sin(B+30°)≤1，

则1+√3＜a+b+c≤3，

即△ABC的周长取值范围（1+√3，3].

Answer 2

（1）2acosc+c=2b，利用正弦定理2sinacosc+sinc=2sinb，
将sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc代入得sinc=2cosa
sinc，
即cosa＝
1
2
，a＝
π
3
（6分）
（2）由
b
sinb
＝
c
sinc
＝
a
sina
＝
2
3
得，l△abc＝
2
3
(sinb+sinc)+1，
将c＝
2π
3
?b代入化简得l△abc＝2sin(b+
π
6
)+1，因为
π
6
＜b+
π
6
＜
5π
6
所以周长的取值范围是（2，3]（12分）