Question

如何证明函数处处连续，又如何证明处处可导

Answer 1

用定义证明：

对任意x0∈R，任意ε>0，总存在正数d，使对所有|x-x0|<d，有|f(x)-f(x0)|<ε

则f(x)在R上处处连续

对任意x0∈R，有lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，则f(x)在R上处处可导

充分必要条件：

函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。

函数可导与连续的关系，函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。

Answer 2

用定义证明：
对任意x0∈R，任意ε>0，总存在正数d，使对所有|x-x0|<d，有|f(x)-f(x0)|<ε
则f(x)在R上处处连续
对任意x0∈R，有lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在，则f(x)在R上处处可导