Question

线性代数的一道题，谢谢啦!

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Answer 1

15(2) 系数矩阵行列式 |A| =
|λ 1 1|
|1 λ 1|
|1 1 λ|
第2，3 列均加到第 1 列， |A| =
|2+λ 1 1|
|2+λ λ 1|
|2+λ 1 λ|
|A| =
|2+λ 1 1|
|0 λ -1 0|
|0 0 λ-1|
|A| = (2+λ)(λ-1)^2
当 λ ≠ -2 且 λ ≠ 1 时，|A| ≠ 0，方程组 Ax = b 有唯一解。
当 λ = -2 时，(A, b) =
[-2 1 1 1]
[ 1 -2 1 -2]
[ 1 1 -2 4]
初等行变换为
[ 1 -2 1 -2]
[ 0 3 -3 6]
[ 0 -3 3 -3]
初等行变换为
[ 1 -2 1 -2]
[ 0 1 -1 2]
[ 0 0 0 3]
r(A,b) = 3, r(A) = 2, 方程组无解。
当 λ = 1 时，(A, b) =
[ 1 1 1 1]
[ 1 1 1 1]
[ 1 1 1 1]
初等行变换为
[ 1 1 1 1]
[ 0 0 0 0]
[ 0 0 0 0]
方程组 Ax = b 有无穷多解。
此时方程组同解变换为
x1 = 1 - x2 - x3
取 x2 = x3 = 0，得特解(1, 0, 0)^T ;
导出组是 x1 = - x2 - x3,
取 x2 = -1， x3 = 0， 得基础解系 (1, -1, 0)^T,
取 x2 = 0, x3 = -1, 得基础解系 (1, 0, -1)^T,
一般解 x = (1, 0, 0)^T + k(1, -1, 0)^T + c(1, 0, -1)^T.

Answer 2