Question

在（1+x+x2）（1-x）10的展开式中，含x4的系数为

Answer 1

(1+x+x²)(1-x)^10
=(x²+x+1)(x-1)^10
=(x²+x+1)(x-1)·(x-1)⁹
=(x³-1)(x-1)⁹

(x-1)⁹的展开式中，x³项的系数为(-1)⁶·C(9,3)=84，x项的系数为(-1)⁸·C(9,1)=9
所以(x³-1)(x-1)⁹的展开式中，x⁴项的系数为84×(-1)+9×1=-75

Answer 2

∵（1+x+x2）（1-x）10=（1-x）10+x（1-x）10+x2（1-x）10
∴（1+x+x2）（1-x）10展开式中含x4的系数为
（1-x）10的含x4的系数加上其含x3的系数加上其含x2项的系数
∵（1-x）10展开式的通项为Tr+1=C10r（-x）r
令r=4，3，2分别得展开式含x4，x3，x2项的系数为C104，-C103，C102
故（1+x+x2）（1-x）10展开式中含x4的系数为
C104-C103+C102=135，
故答案为135