Question

大一高数 设f（x）在闭区间［0,1］上连续且f（0）＝f（1）证明

设f（x）在闭区间［0,1］上连续且f（0）＝f（1）证明必有一点n∈［0,1］使得f（n＋1/2）＝f（n）

Answer 1

设F(x)=f(x-1/3)-f(x)+1/3
F(1/3)=f(0)-f(1/3)+1/3=-f(1/3)+1/3
F(2/3)=f(1/3)-f(2/3)+1/3
F(1)=f(2/3)-f(1)+1/3=f(2/3)-2/3
F(1/3)+F(2/3)=-f(2/3)+2/3 ,由介值性定理,至少存在a,(1/3《a《2/3),使：
F(a)=(F(1/3)+F(2/3))/2=(-f(2/3)+2/3)/2
故：F(a)F(1)=(-f(2/3)+2/3)/2*(f(2/3)-2/3)《0,由根的存在性定理：
至少存在ξ,使得F(ξ)=0 ,即：f(ξ-1/3)=f(ξ)-1/3

追问

兄弟你先看题

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

令F(x)＝f(x＋1/2)-f(x)
F(1/2)F(0)＜＝0
介值定理出结果