Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2=1过直线l:x=2上一点p作椭圆的切线切点为a当p点在x轴上时

切线pa斜率为正负根号2/2。
设o为坐标原点求poa的面积最小值

Answer 1

椭圆的切线方程：
x0x/a²+y0y/b²=1
（x0，y0）为切点；
x=2，y=0代入：
2x0/a²=1，x0=a²/2，
y0=（2-x0）/√2=（2-a²/2）/√2
代入椭圆：
a²/4+（2-a²/2）²/2=1
a²/2+4-2a²+a^4/4=2
2-a²3/2+a^4/4=0
8-6a²+（a²）²=0
（a²-4）（a²-2）=0
a²=4，a²=2，a²=4时，椭圆过（2,0），不符题意。因此a²=2
方程x²/2+y²=1
设切点A（x0，y0）
切线方程：
x0x/2+y0y=1
xp=2代入
x0+y0y=1
yp=（1-x0）/y0
S△OAP=0.5|x0yp-xpy0|
=0.5|x0（1-x0）/y0）-2y0|
=0.5|x0-x0²-2y0²|/|y0|
=0.5|x0-2（x0²/2+y0²）|/|y0|
=0.5|（x0-2）|/|y0|
=（2-x0）/2|y0|
由于对称性，只要考虑y0>0时的情况：
x0²/2+y0²=1
y0=√（1-x0²/2）=√（2-x0²）/√2
S△OAP=（2-x0）/√2（4-x0²）
=√[（2-x0）/（2+x0）]/√2
x增大，分子减小，分母增大，数值减小，这是关于x0的单调递减函数，x0=√2时，有最小值
S△OAPmin=√[（2-√2）/（2+√2）]/√2
=√[（√2-1）/（√2+1）]/√2
=1/（2+√2）
=（2-√2）/2