Question

多元函数，偏导数存在，偏导数连续，可微这三者什么关系？ 或者可微与偏导数连续的联系怎么解释证明？

是不是如果偏导数存在，且偏导数连续就能推出可微？分段函数~可微但偏导不连续？最后就是下图，答案说在0,0偏导数存在，不可微，则偏导数不连续连续，是不是就是因为（偏导数存在，且偏导数连续是可微的充分条件）推断出的？

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Answer 1

首先先把结论告诉你，偏导数存在是一个很强的条件，既可以推出可微也可以推出偏导数存在。然后可微偏导数一定存在，反之不成立。你的那个例子就是一个反例。具体的我们只需要证明可微偏导数存在和偏导数连续则可微就行。

追答

这些都是些逻辑推理的东西。简单来说可微必可偏导，偏导不一定可微。偏导数连续太强了，其余都可以由他推导，但是其他两个都推不出偏导数连续。这个不仅仅是二元，即使放在一元也是如此，升次之后低次结论不成立的往往还是不成立（除非定义拓展）

追问

既然其它两个都推不出偏导数连续，那为什么图里的题能直接的出偏导不连续

哦，你的意思是除了（分段函数）其余函数满足偏导连续则必可微，所以的出结论？

哦，错了，分段函数也是满足偏导连续则可微的，只是不能反回去。所以肯定成立的就是你证明的两个咯