用分部积分公式证明 10
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记 g(u) = ∫<0, u>f(x)dx, 将右边二重积分 作分部积分
右边 = [ug(u)]<0, x> - ∫<0, x>ug'(u)du
= xg(x) - ∫<0, x>uf(u)du
= x∫<0, x>f(t)dt - ∫<0, x>uf(u)du, （对 t 积分， x 是常量）
= ∫<0, x>xf(t)dt - ∫<0, x>uf(u)du （定积分与积分变量无关，将 t 换为 u）
∫<0, x>(x-u)f(u)du = 左边
右边 = [ug(u)]<0, x> - ∫<0, x>ug'(u)du
= xg(x) - ∫<0, x>uf(u)du
= x∫<0, x>f(t)dt - ∫<0, x>uf(u)du, （对 t 积分， x 是常量）
= ∫<0, x>xf(t)dt - ∫<0, x>uf(u)du （定积分与积分变量无关，将 t 换为 u）
∫<0, x>(x-u)f(u)du = 左边
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