Question

a的a次方的a次方的a次方……等于2，求解a。求救啊，各路大神！感激不尽！

Answer 1

是无穷多个n吗？
如果是的话，那么a=√2
a^a^a^...=a^(a^a^a^...)=a^2=2

a=√2或-√2（舍去，因为既要作为指数也要作为底数）
∴a=√2

2022年4月12日更新
这个问题可以从压缩数列考虑，考察其不动点。
对于数列a, a^a, a^a^a, ...，即数列A0=a，A_n+1=a^A_n，当a取什么值时收敛。也可以换一种思路，对于方程a^x=x来说，在a取什么值的情况下方程存在不动点。不过本质上是一样的。两种方法都要求
|(a^x)'|≤1，与a^x=x联立，解出来就是a∈[e^-e,e^(e^-1)]。

追问

太感谢了！但是那a^a^a^...=4也通过这样证明不就答案也是√2了吗？

追答

看起来是这样的。但是其实是无解的。解这类方程需要代入原式验证。把a=√2代入原式得到的是2。

其实可以不验算的。
为什么有些方程解完后要验算，有些却不用呢。根本问题还是证明不够严谨导致的。

之前的证明还漏掉了求y=a^a^a^...的定义域或者值域。可以证明a∈[e^-e,e^e^-1]，y∈[1/e,e]。
所以2在值域里，所以有解。4不在，所以无解。