Question

求解微分方程

求(x²+1)y'+2xy=4x²的通解

Answer 1

求微分方程 (x²+1)y'+2xy=4x² 的通解
解：先求齐次方程 (x²+1)y'+2xy=0的通解：
分离变量得：dy/y+[(2x)/(x²+1)]dx=0
积分之得：lny+∫d(x²+1)/(x²+1)=lny+ln(x²+1)=ln[y(x²+1)]=lnc;
故y(x²+1)=c，即y=c/(x²+1)； 将c换成x的函数u，得y=u/(x²+1).............①
将①两边对x取导数得：y'=[(x²+1)u'-2xu]/(x²+1)²=[u'/(x²+1)]-[2xu/(x²+1)²]...........②
将①②代入原式得：(x²+1){[u'/(x²+1)]-[2xu/(x²+1)²]}+2xu/(x²+1)=4x²
消去同类项得：u'=4x²；故u=4∫x²dx=(4/3)x³+c;
代入①式即得原方程的通解为：y=[(4/3)x³+c]/(x²+1);

Answer 2

Answer 3

显然这是一个一阶线性非齐次微分方程，可以用常数变易法，也有特定的公式可用。先左右两边同除以(x²+1)，然后利用公式即可。

Answer 4

(x²+1)y'+2xy=4x²
(x²+1)y'+(x²+1)'y=4x²
(x²+1)y=(4/3)x³+C/3
所以 y=(4x³+C)/(3x²+3)

Answer 5

对的可能性不大