Question

若f（x）在x0连续，则f（x）的平方在x0连续。用极限的定义怎么证明？

Answer 1

①当f(x0)＝0时
对于任意给定的ε＞0，由于f(x)在x0连续，存在δ＞0，当|x-x0|＜δ时，|f(x)|＝|f(x)-f(x0)|<√ε.于是，当|x-x0|＜δ时，有|f^2 (x)|<(√ε)^2＝ε.
即|f^2 (x)-f^2 (x0)|<ε.故f^2 (x)在x0连续。
②当f(x0)≠0时
一方面，对于ε0＝|f(x0)|/2＞0，由于f(x)在x0连续，存在δ1＞0，当|x-x0|<δ1时，有|f(x)-f(x0)|<ε0＝|f(x0)|/2，从而|f(x)|＝|[f(x)-f(x0)+f(x0)]|≤|f(x)-f(x0)|+|f(x0)|＜3|f(x0)|/2.
另一方面，对任意给定的ε＞0，由于f(x)在x0连续，存在δ2＞0，当|x-x0|＜δ时，有
|f(x)-f(x0)|＜2/(5|f(x0)|) ε.
取δ＝min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ时，有
|f^2 (x)-f^2 (x0)|＝|f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤(|f(x)|+|f(x0)|)|f(x)-f(x0)|＜(3|f(x0)|/2+|f(x0)|) 2/(5|f(x0)|) ε＝ε，即|f^2 (x)-f^2 (x0)|＜ε.
因此，f^2 (x)在x0连续。