Question

设f(x)连续，（积分区间为0到π）∫xf(sinx)dx=(π/2)∫f(sinx)dx？

请问sin可以换成cos吗，推导的时候，用cos推不出来，可是计算的时候cos可以换成根号1-sin方，那不就成了关于sin的函数了，这不就矛盾了吗

Answer 1

证明：令x=π-t,则x由0到π,t由π到0,dx=-dt

原式记为I

则I=-（积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(π-t)dt

=-(积分区间π到0）∫(π-t)f(sin(t)dt

=(积分区间0到π）∫(π-t)f(sin(t)dt

=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt-I

所以2I=(积分区间0到π）∫πf(sin(t)dt

即I=（π/2)∫f(sint)dt=(π/2)∫f(sinx)dx

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

Answer 2

不可以，sinx在[0,π]上非负

cos=±√1-sinx，完全是不同的函数

Answer 3

cosx不可以换成根号(1-sin方），因为在这个区间内，cosx不恒正

追问

那如果题中只有cos方，那是可以换的吧？

追答

换啥？你这个根本不可能等价，你用f(x)=cosx看看，怎么替换成等价的根号(1-(sinx)^2)

Answer 4