Question

高中的导数问题 求大佬解答

已知函数f（x）等于alnx-x+1 当0<a<=e+1/e时，函数g（x）=f（x）+1/x-1有两个极值点x1，x2（x1<x 2），求g（x2）-g（x1）的最大值

Answer 1

解：依题意，g(x)=alnx-x+1+1/x-1=alnx-x+1/x;定义域为x>0。
g’(x)=a/x-1-1/x^2=-[1/x^2-a/x+1+(a/2)^2-(a/2)^2]=-[(1/x-a/2)^2-(a/2)^2+1]=0
g(x)有两个极值点的必要条件是：（a/2)^2-1>0, 即：a^2>4, a<-2和a>2;
g'(x)=-[1/x-a/2+√(a^2-4)/2][1/x-a/2-√(a^2-4)/2]=0
1/x2=a/2-√(a^2-4)/2, 1/x2=a/2-√(a^2-4)/2; 由g(x)的定义域可知，a>2时才会有两个极值点。
x1=2/[a+√(a^2-4)], x2=2/[a-√(a^2-4)]; 令h(a)
h(a)=g(x2)-g(x1)=aln{2/[a-√(a^2-4)]}-aln{2/[a+√(a^2-4)]}-2/[a-√(a^2-4)]+2/[a+√(a^2-4)]+[a+√(a^2-4)]/2-[a-√(a^2-4)]/2+1-1
=aln{[a+√(a^2-4)]/[a-√(a^2-4)]}+2√(a^2-4)=2aln{[a+√(a^2-4)]/2}+2√(a^2-4)。
h'(a)=2ln{[a+√(a^2-4)]/2}+4a(1+a/√(a^2-4)]}/[a+√(a^2-4)]+2a/√(a^2-4)]
=2ln{[a+√(a^2-4)]/2}+6a/√(a^2-4)；
令：0<[a+√(a^2-4)]/2<1; 0<a+√(a^2-4)]<2; 则有 √(a^2-4)]<2-a; a^2-4<4+a^2-4a,
得：a<2;因为定义域决定了a>2,所以，2ln[a+√(a^2-4)]/2>0, h'(a)>0, h(a)为增函数；
lim(a->+∞)h(a)=lim(a->+∞)2ln[a+√(a^2-4)]-2ln2+6a/√(a^2-4)=+∞。