用拉氏变换求微分方程，题目如下，麻烦写一下过程，谢谢了
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解：∵微分方程为di/dt+5i=10e^(-3t)
∴设方程的特征根为x，特征方程为
x+5=0，x=-5，方程的特征根为
e^(-5t)
又∵方程的右式为10e^(-3t)
∴设方程的特解为ae^(-3t)，有
-3ae^(-3t)+5ae^(-3t)=10e^(-3t)，
2a=10，a=5
∴方程的通解为i=Ae^(-5t)+5e^(-3t)
(A为任意常数)
∵i(0)=0 ∴A=-5，方程的特解为
i=5e^(-3t)-5e^(-5t)
解：∵微分方程为d²y/dt+ω²y=0
∴设方程的特征值为x，有
x²+ω²=0，x=±ωi ∴方程的特征根
为sinωt、cosωt
∴方程的通解为y=asinωt+bcosωt
∵y(0)=0，y'(0)=ω
∴有b=0，a=1 ∴方程的特解为
y=sinωt
解：∵微分方程为y''(t)-3y'(t)+2y(t)=4
∴设方程的特征值为x，特征方程为
x²-3x+2=0，x=1或2 ∴方程的特征 根为e^2t、e^t 又∵方程的右式
为4 ∴方程的特解为y=2
∵y(0)=3，y'(0)=3 ∴有
3=ae^0+be^0+2，3=2ae^0+be^0
∴得：a=2，b=-1
∴方程的特解为y=2e^2t-e^t+2
∴设方程的特征根为x，特征方程为
x+5=0，x=-5，方程的特征根为
e^(-5t)
又∵方程的右式为10e^(-3t)
∴设方程的特解为ae^(-3t)，有
-3ae^(-3t)+5ae^(-3t)=10e^(-3t)，
2a=10，a=5
∴方程的通解为i=Ae^(-5t)+5e^(-3t)
(A为任意常数)
∵i(0)=0 ∴A=-5，方程的特解为
i=5e^(-3t)-5e^(-5t)
解：∵微分方程为d²y/dt+ω²y=0
∴设方程的特征值为x，有
x²+ω²=0，x=±ωi ∴方程的特征根
为sinωt、cosωt
∴方程的通解为y=asinωt+bcosωt
∵y(0)=0，y'(0)=ω
∴有b=0，a=1 ∴方程的特解为
y=sinωt
解：∵微分方程为y''(t)-3y'(t)+2y(t)=4
∴设方程的特征值为x，特征方程为
x²-3x+2=0，x=1或2 ∴方程的特征 根为e^2t、e^t 又∵方程的右式
为4 ∴方程的特解为y=2
∵y(0)=3，y'(0)=3 ∴有
3=ae^0+be^0+2，3=2ae^0+be^0
∴得：a=2，b=-1
∴方程的特解为y=2e^2t-e^t+2
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