Question

定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n),x>1时,f(x)<0,

Answer 1

解：（1）令m=1，n=0，则

f（0）=f（1）+f（0）

∴f（1）=0

（2）在R+上任取0＜x1＜x2，则

f（x2）-f（x1）

=f（x2/x1·x1）-f（x1）

=f（x2/x1）+f（x1）-f（x1）

=f（x2/x1）

∵x1＜x2

∴x2/x1＞1

由题意可知，当x＞1时，f（x）＜0

∴f（x2/x1）＜0，即

f（x2）＜f（x1）

∴f（x）在R+上是减函数

（3）这个很奇怪，

由题意可知，

当x＞1时，f（x）＜0，

可是f（2）怎么会等于1/2呢？

Answer 2

解:

(1)f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),故f(1)=0

(2)在R+上任取x1>x2,依题意有:

f(x1)=f(x2×x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)

f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)

又因为x1>x2>0,故x1/x2>1,依题意有:

f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0,即f(x1)<f(x2)

故f(x)在R+上是减函数,得证

(3)f(2)=1/2,f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=(1/2)+(1/2)=1

故f(x²-3x)>1=f(4)

又因为f(x)在R+上是减函数,故有:

0<x²-3x<4

解得x∈(-1,0)∪(3,4)