Question

2.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx²+2√3mx+n经过P﹙√3，5﹚，A﹙0，2﹚两点。

Answer 1

1）根据题意得
3m+6m+n＝5
n＝2
，
解得
m＝
1
3
n＝2
，
所以抛物线的解析式为：y＝
1
3
x2+
2
3
3
x+2．
（2）由y＝
1
3
x2+
2
3
3
x+2得抛物线的顶点坐标为B（−
3
，1），
依题意，可得C（−
3
，-1），且直线过原点，
设直线的解析式为y=kx，则−
3
k＝−1，
解得k＝
3
3
，
所以直线l的解析式为y＝
3
3
x．
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，
由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．
易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，
作∠BCO的平分线，交x轴于M
1
点，交y轴于M
2
点，
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M
3
点，
反向延长线交x轴于M
4
点，可得点M
1
，M
2
，M
3
，M
4
就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．
可证△OBM
2
、△BCM
4
、△OCM
3
均为等边三角形，可求得：
①OM
1
=
3
3
OB=
3
3
×2=
2
3
3
，所以点M
1
的坐标为（−
2
3
3
，0）．
②点M
2
与点A重合，所以点M
2
的坐标为（0，2），
③点M
3
与点A关于x轴对称，所以点M
3
的坐标为（0，-2），
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，
M
4
N=
3
2
BC＝
3
，且ON=M
4
N，
所以点M
4
的坐标为（−2
3
，0）
综合所述，到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：
M
1
（−
2
3
3
，0）、M
2
（0，2）、M
3
（0，-2）、M
4
（−2
3
，0）．