Question

直线Y=2X是三角形ABC中角C的平分线所在直线，若A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标，并判断三角形ABC的形状。

要分析过程。

Answer 1

解：设C(x,2x)
直线Y=2X是三角形ABC中角C的平分线所在直线，则
点A到直线距离：点B到直线距离=AC：BC，即
((x+4)^2+(2x-2)^2)/((x-3)^2+(2x-1)^2)=(-8-2)^2/(6-1)^2
x=2/3或x=2
经验证x=2/3不能构成三角形，所以
x=2
C(2,4)
KAC*KBC=-1
三角形ABC是以C为直角的直角三角形

Answer 2

解：

若点(a,b)和(m,n)关于支线Ax+By+C=0对称，则

A(a+m)/2+B(b+n)/2+C=0,

(n-b)/(m-a)=B/A

这样可以根据(a,b)和直线的方程得到对称点(m,n),

由题意，可知

A(-4,2)关于y=2x对称的点(4,-2)在BC边上，

B(3,1)关于y=2x对称的点(-1,3)在AC边上，

∴BC:3x+y-10=0,

AC:x-3y+10=0,

C在直线AC和BC的交点处，

∴C:(2,4)

A(-4,2),B(3,1),

∴AB=√ 50,AC=√ 40,BC=√ 10,

易知AB^2=AC^2+BC^2，

∴此三角形是直角三角形，且C=90°，

不懂的再问，

谢谢！

Answer 3

设C(X,2X);
OC为角C的平分线，则原点O到直线AC，BC的距离相等。
直线AC，y-2=k1(x+4)=(2X-2)/(X+4)*(x+4)；
直线BC, y-1=k2(x-3)=(2X-1)/(X-3)*(x-3)；
==> d=|k1(0+4)-0+2|/sqrt(1+k1^2)=|k2(0-3)-0+1|/sqrt(1+k2^2),
==> (3X^2-8X+4)X^2=0 ==> X=0, 2/3, 2.
若X=0，即C为原点O，易知直线Y=2X不是角AOB的平分线，舍去X=0。

又|AB|=5sqrt(2),
当C(2/3,4/3)时，|AC|=10sqrt(2)/3, |BC|=5sqrt(2)/3, AB为最大边，且由余弦定理，
cosC=(|AC|^2+|BC|^2-|AB|^2)/(2|AC||BC|)=-1, ==>角C=180°，矛盾。

当C(2,4)时，|AC|=2sqrt(10), |BC|=sqrt(10), AB为最大边，且由余弦定理，
cosC=(|AC|^2+|BC|^2-|AB|^2)/(2|AC||BC|)=0, ==>角C为直角。

综上，点C的坐标C(2,4)，三角形ABC为直角三角形。

Answer 4

C(a,2a)
因为是角分线，所以2-Kac/1+2*Kac=Kbc-2/1+2*Kab
Kac=2a-2/a+4
Kbc=2a-1/a-3
C(2,4)
Kac=1/3
Kbc=-3
Kac*Kbc=-1
所以是直角三角形