Question

AB两个数都恰只含有质因数3和5，它们的最大公因数是75，已知A数有12个公因数，B数有10个因数，那么AB两数

Answer 1

首先要知道一个数因数个数的计算方法，若数a=a^m*b^n，那么a的因数的个数就等于(m+1)*(n+1)。
既然b有10个因数，那b的指数只能是1和4或0和9，但是后者不可能有因数75，所以只可能是前者，即3^1*5^4=1875。
同理，a有12个因数，那么a的指数可能是1和5、2和3或0和11；0和11首先被排除，原因同上，1和5也被排除，因为5的指数必须大于2，那么如果是这个组合，5的指数就是5，那和b的最大公因数就不止是75了；所以组合只能是2和3。如果5的指数是3，那么最大公因数也不止75，所以5的指数是2，b是3^3*5^2=675.
两个数的和就是2550

Answer 2

75=3*5*5=3^1*5^2
75的公因数为1，3，5，15，25，75
2*3=6个,
由于B因数10=2*5，所以，B=3^1*5^4=1875
由于12=3*4=2*6
且与B的公因子中质因数5只能为两个
所以，A的可能性另外有2个因子3，即A=3^3*5^2=675
所以，AB的和为2550，

Answer 3

A和B两数之和是2550
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75＝3×5×5＝(3^1)·(5^2)
两数有且只有一个数含有因数5不超过2个，否则125是其
公因数
…………①
同理，可得：两数有且只有一个数含有因数3不超过1个……………………②
①②不是同一个数，否则该数只有(2＋1)(1＋1)＝6个因数
A：12＝3×4＝2×6
B：10＝2×5且无因数3
即A符合条件①②，B符合条件②
∴满足条件①的是A，满足条件②的是B，则
A＝[5^(3－1)]·[3^(4－1)]＝(5^2)·(3^3)＝675
B＝[3^(2－1)]·[5^(5－1)]＝(3^1)·(5^4)＝1875
∴A＋B＝675＋1875＝2550
注：x^y表示x的y次方。