Question

数学请解！谢谢！

Answer 1

建立直角坐标系,XYZ轴分别与正方体3条垂直的棱平行,B点位于(0,0,0),D1点位于(2,2,2)

则这20个点的坐标分别是：

(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,1,0),(1,2,0),(2,0,1),

(1,0,2),(0,1,2),(0,2,1),(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2),(2,2,2)

因为连线和BD1垂直,设连线2端点坐标为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),则有(x1-x2,y1-y2,z1-z2)·(2-0,2-0,2-0)=0

所以有x1+y1+z1=x2+y2+z2，可知与BD1垂直的直线都位于平面x+y+z=k上（k是任意实数)

结合20个点的取值，可知k只能有0,1,2,3,4,5,6这7个取值

20个点中

在x+y+z=0上的只有B点(0,0,0)，无法成连线

在x+y+z=1上的有3个点(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)，形成3条直线

在x+y+z=2上的有3个点(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)，形成3条直线

在x+y+z=3上的有6个点(2,1,0),(1,2,0),(2,0,1),(1,0,2),(0,1,2),(0,2,1)，形成15条直线

在x+y+z=4上的有3个点(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2),形成3条直线

在x+y+z=5上的有3个点(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2),形成3条直线

在x+y+z=6上的只有D1点(2,2,2)，无法成连线

因此总共有27条连线与BD1垂直