Question

求下列微分方程的通解或满足初始条件的特解4

Answer 1

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
1。(dy/dx)-y/x-1=0，y(e)=3e；
解：令y/x=u，则y=ux；对x取导数得dy/dx=(du/dx)x+u，代入原式得：
(du/dx)x+u-u-1=0，即有(du/dx)x=1；分离变量得du=dx/x；积分之得u=lnx+lnc=ln(cx)，
故得通解为y=xln(cx)；代入初始条件：3e=eln(ce)=e(lnc+1)，即有lnc=2，c=e²；
于是得特解为y=xln(e²x)=x(2+lnx)=2x+xlnx；
2。xy'+2y=0，y(1)=1；
解：dy/dx=-2y/x；分离变量得dy/y=-2dx/x；取积分得lny=-2lnx+lnc=ln(c/x²)
故得y=c/x²，即通解为x²y=c；代入初始条件得c=1，故得特解为x²y=1.

Answer 2

8，由特征方程知:x^2-4x+3=0，两个根是x2=1，x2=3

所以其解为y=c1e^x+c2e^3x，x=o，y=6=c1+c2

y'=c1e^x+3c2e^3x，x=0，y'=10=c1+3c2

解得：c1=4，c2=2

y=4e^x+2e^3x

9.
y'+3y=8

dy/dx=8-3y

dy/(8-3y)=dx

积分，-1/3*ln(8-3y)=x+c

当x=0，y=2，c=-1/3*ln2

所以ln(8-3y)=3x-ln2

8-3y=e^(3x-ln2)=(e^3x)/2

3y=8-(e^3x)/2

y=(16-e^3x)/6

10.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx

ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)

2ydy/(1+y^2)=2xdx/(1+x^2)

积分：ln(1+y^2)=ln(1+x^2)+c

x=0，y=1，ln2=c

所以：ln(1+y^2)=ln(1+x^2)+ln2

1+y^2=2(1+x^2)

y^2-2x^2=1