Question

设A，B，A＋B，均为n阶可逆矩阵，证明A^-1+B^-1为可逆矩阵，并写出（A^-1+B^-1)^-1,写出过程，谢谢

Answer 1

(A^-1)(A+B)(B^-1)=B^-1+A^-1

由于可逆阵的逆阵可逆，可逆阵的乘积可逆，由上式知:A^-1

+B^-1可逆.再由性质:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1)由(**)式,两端取逆

得:(A^-1+B^-1)^-1==[(B^-1)]^-1}[(A+B)^-1][(A^-1)^-1]=(B)[(A+B)^-1](A)

可逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

容易验证:
(A^-1)(A+B)(B^-1)=B^-1+A^-1.
**
由于可逆阵的逆阵可逆,可逆阵的乘积可逆,由上式知:A^-1
+B^-1可逆.
再由性质:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1)
由(**)式,两端取逆,得:
(A^-1
+B^-1)^-1=
=[(B^-1)]^-1}[(A+B)^-1][(A^-1)^-1]
=(B)[(A+B)^-1](A)

Answer 4

由a,b可逆知
a^-1+b^-1
=
a^-1(a+b)b^-1
由已知
a+b可逆,
所以
a^-1+b^-1
可逆
(可逆矩阵的乘积仍可逆)
且(a^-1+b^-1)^-1
=
[a^-1(a+b)b^-1]^-1
=
b(a+b)^-1a