Question

设常数k大于0

设函数f(x)的定义域为R,若存在常数k大于0,使|f(x)|小于等于k/2010|x|对一切实数x均成立,则把 称为“海宝”函数.现在有下列函数：(1)f(x)=x^2 (2)f(x)=sinx+cosx (3)f(x)=x/(x^2+x+1) (4)f(x)=3^x+1其中是“海宝”函数的序号为_____

Answer 1

其中是“海宝”函数的序号为(3).

（1）|f(x)|=|x^2|=|x||x|≤(k/2010)|x|,则k≥2010|x|,随着|x|的增大,k也要增大,不存在一个固定的常数满足条件【或 这样理2010|x|无解,故不存在k满足条件】

（2）f(0)=1≥k|0|,故不存在k

（3）|f(x)||x|=x^2/(x^2+x+1)=1/(1+1/x+1/x^2)

存在最大值,即存在k使得|f(x)||x|≤k/2010

【详细点就是 |f(x)|=|x/(x^2+x+1)|≤|x|/[(x+1/2)²+3/4]≤4/3|x|,k可取4/3】

（4）|f(x)|＝|3^x+1|＝|x|·|3^x+1| / |x|＝|x|·|3^x/x+1/x|≤k|x|/2010

则k 必须≥|3^x/x+1/x|·2010,而此式无解,故k无解、