Question

已知椭圆直线l与椭圆交于ab两点 且以ab为直径的圆过椭圆的右顶点求证直线l恒

已知椭圆M：x²/9+y²=1,设直线l与椭圆M交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC的面积的最大值.
希望有人能算出具体的数值，这题的解题方法我知道，就是化简不出最终结果。

Answer 1

由椭圆M：x²/9+y²=1知,右定点C坐标为（3,0）
因A、B都在椭圆上,
故可设A(3sinα,cosα),B(3sinβ,cosβ)
因以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C
故AC垂直于BC
由于直线AC的斜率k1=（cosα-3）/3sinα,直线BC的斜率k2=(cosβ-3)/3sinβ
故k1k2=-1
即[（cosα-3）/3sinα]•[(cosβ-3)/3sinβ]=-1
整理得cosαcosβ-3(cosα+cosβ)+9sinαsinβ+9=0……（1）
三角形ABC的面积S=|AC|•|BC|/2,
4S²=(AC²)(BC²)
=[(3sinα-3)²+cos²α]•[(3sinβ-3)²+cos²β]
以下需要你自己去计算了,思路是：先整理上式,再利用（1）消去一个变量,通过对一元函数分析求解.