Question

已知函数f(x)=(x²+2x+1/a)/x,(a>0)

若x属于（0，1]时f（x）是减函数，x属于[1,正无穷）时f（x）是增函数，试求a的值及x属于（0，正无穷）上f（x）的最小值

Answer 1

f(x)=(x²+2x+1/a)/x=（x+1)^2/x+(1-a)/a)/x
因为f(x)=(x+1)^2/x为
增函数
因为x属于（0，1]时f（x）是
减函数
即f(x)=(1-a)/a)/x在（0，1]上为减函数所以（1-a)/a大于等于0
因为a>0
解得a小于等于1
x属于[1,
正无穷
）时f（x）是增函数
即f(x)=(1-a)/a)/x在（0，1]上为增函数所以（1-a)/a小于等于0因为a>0
解得a大于等于1
所以a=1
因为x属于（0，1]时f（x）是减函数所以f（x）在（0，1]上的最小值为f(1)=4，x属于[1,正无穷）时f（x）是增函数所以f（x）在[1,正无穷）上的最小值为f(1)=4
综上所述a=1,f(x)的最小值为4