Question

已知函数f（X）=x³+ax²+x+1,a∈R

(1)讨论函数f（x）的单调区间；
(2)设函数f（x）在区间（-2/3，-1/3）内是减函数，求a的取值范围

解答后追加5分

Answer 1

1）f'(x)=3x^2+2ax+1
delta=4(a^2-3)
若-√3=<a<=√3, delta<=0, f'(x)>=0, 函数在R上单调增
若 a>√3 or a<-√3, 则函数有两个极值点，x1=(-a-√(a^2-3))/3, x2=(-a+√(a^2-3))/3
x<x1 or x>x2时为单调增，
x1<x<x2时为单调减
2）由上，减函数的区间为x1<x<x2, 因此有： x1<=-2/3, x2>=-1/3
因此有： f'(-2/3)=4/3-4a/3+1<0---> a>7/4
f'(-1/3)=1/3-2a/3+1<0--> a>2
因此综合得： a>2

追问

(1)为什么不用讨论x1=(-a-√(a^2-3))/3, x2=(-a+√(a^2-3))/3的大小？a不一定＞0
(2)为什么说 x1=-1/3，因此有： f'(-2/3)=4/3-4a/3+1 a>7/4

追答

1)这样写x1肯定比x2大，因为前者是-a减去一个正数，后者是-a加上一个正数。
2）因为x1,x2为f'(x)=0的根，而f'(x)为二次函数，开口向上，画一下图就明白两个不等式了。