Question

初三几何，急啊，在线等答案！

在Rt三角形ABC中，角C=90°，AC=3,BC=4，点E在直角边AC上（点E与A、C两点均不重合），点F在斜边AB上（点F与A、B两点均不重合）。 1.若EF平分Rt三角形的周长，设AE长为x，试用含x的代数式表示三角形AEF的面积。 2。是否存在线段EF将Rt三角形ABC的周长和面积同时平分？请说理由。

Answer 1

（1）先从F点到AC边上做一个高，设与AC交点为D。你把图先画好，下面的解释就好理解了！
三角形AEF的面积=AE*FD*1/2
由题意若EF平分Rt三角形的周长可知，AE+AF=1/2（AC+AB+BC）
由勾股定理得AB=5则AC+AB+BC=3+4+5=12
所以AE+AF=6
由题意设AE为X。则AF=6-X
你看自己画的图，有没有发现三角形ADF与三角形ACB相似。
所以说AF/AB=DF/CB把上面的数代入得DF=4*（6-X）/5
上面开始时说了，三角形AEF的面积=AE*DF*1/2
那么面积S整理后得S=[12X-2（X的平方）]/5
（2）答：不存在线段EF将Rt三角形ABC的周长和面积同时平分
解：
假设存在符合条件的线段EF。
由（1）题中可知道三角形ABC的面积为3*4*1/2=6
则S=[12X-2（X的平方）]/5
=1/2（三角形ABC的面积）=6
整理可得
X的平方-6X+15=0
可化成完全平方式为（X-3）的平方+6=0
很明显，不管X取何值，上述完全平方式都不可能成立。因为（X-3）的平方不可能为负值使得方程为0。
所以假设不成立！
所以不存在线段EF将Rt三角形ABC的周长和面积同时平分