Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1（Ⅰ）求f（x...

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1 （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若方程f（x）=ax，x∈[2，3]时有唯一一个零点，且不是重根，求a的取值范围； （Ⅲ）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，则由f（0）=1，求得
c=1．
再由f（x+1）-f（x）=2x可得
2ax+a+b=2x，
所以2a=2a+b=0，∴a=1b=-1，∴f（x）=x2-x+1．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-ax=x2-（a+1）x+1=0，则h（2）=3-2a，h（3）=7-3a，
由h（x）=0在[2，3]上有唯一零点且不是重根，只需h（2）•h（3）≤0，求得32≤a≤73．
经检验a=32时，方程h（x）=0在[2，3]上唯一解x=2；
a=73时，方程h（x）=0在[2，3]上唯一解x=3，故要求的a的范围为[32，73]．
（Ⅲ）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=32，所以g（x） 在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，解得m＜-1．