Question

若非负实数a，d和正实数b，c满足b+c>==a+d,求b/(c+d)+c/(a+b)的最小值

Answer 1

由已知可得b+c≥(a+b+c+d)/2,
则b≥(c+d)/2和c≥(a+b)/2至少有一个成立。
不妨设c≥(a+b)/2，则2cd≥(a+b)d，进而有c(a+b+2d)≥(a+b)(c+d),
所以
c/(a+b)≥(c+d)/(a+b+2d)≥(c+d)/(2b+c+d).
所以b/(c+d)
+
c/(a+b)≥b/(c+d)
+
(c+d)/(2b+c+d)
=
b/(c+d)
+
1/(1+2b/(c+d))
记x=b/(c+d),
则b/(c+d)
+
c/(a+b)≥x
+
1/(1+2x)
=
(1+2x)/2
+
1/(1+2x)
-1/2
≥2*√(1/2)
-1/2=√2
-1/2.
当d=0,
b/c=x=(√2
-1)/2,
a=b+c时，b/(c+d)
+
c/(a+b)的最小值为√2
-1/2.