已知定义在上的函数.若,求的值;若对于恒成立,求实数的取值范围.
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分类讨论可得:当时,,解以为单位的一元二次方程得或,结合,得,解之得;根据函数表达式将原不等式化简,可得不等式等价于,由时,是单调减函数,得到的最小值为,最大值为,由此即可求出满足条件的实数的取值范围.
解当时,,不符合题意;当时,,由,得,将其看成关于的一元二次方程,解之得或,结合,得,解之得;当时,,即,,不等式等价于,,函数是单调减函数的最小值为,最大值为即,故若原不等式恒成立,则的取值范围是.
本题给出含有指数的函数,解关于的方程并讨论不等式恒成立问题.着重考查了指数函数的性质,一元二次方程的解法和不等式恒成立等知识,属于中档题.
解当时,,不符合题意;当时,,由,得,将其看成关于的一元二次方程,解之得或,结合,得,解之得;当时,,即,,不等式等价于,,函数是单调减函数的最小值为,最大值为即,故若原不等式恒成立,则的取值范围是.
本题给出含有指数的函数,解关于的方程并讨论不等式恒成立问题.着重考查了指数函数的性质,一元二次方程的解法和不等式恒成立等知识,属于中档题.
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