Question

∫1/1+sinx+cosxdx求解

Answer 1

【若看不清楚，可点击放大。最好用电脑看。】

追问

请问是怎么想到这样换元的呢？我是能看懂，就是自己想不出来。

追答

这是所谓的万能替换，当被积函数是三角函数时，
此替换比较好用。说万能有点夸张。
sinx=2sin(x/2)cos(x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)/[sin²(x/2)+cos²(x/2)]
=2tan(x/2)/[tan²(x/2)+1]=2u/(1+u²);【分子分母同除以cos²(x/2)】
cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[sin²(x/2)+cos²(x/2)]
=[1-tan²(x/2)]/[tan²(x/2)+1]=(1-u²)/(1+u²);
x=2arctanu; dx=2du/(1+u²);