Question

在三角形ABC中,角B=90度,两直角边AB=7,CB=24,在三角形内有一点P到各边的距离相等,

在三角形ABC中,角B=90度,两直角边AB=7,CB=24,在三角形内有一点P到各边的距离相等,则这个距离等于

Answer 1

P至三边距离相等，则P点是直角三角形的内心，即内切圆心，至三边距离是内切圆半径r,

设三个切点为D、E、F，（D在斜边上），

PE、PF与二直角边垂直，根据勾股定理，AC=25，

周长=7+24+25=56，

PE=PF=r,四边形PEBF是正方形，

BE+BF+FA+AD+CD+CE=56，

AD=AF，CD=BE，

2r=56-2AB=6,r=3,

故该距离为3。 

即二直角边之和减去斜边差的一半，（7+24-25）/2=3。

Answer 2

“吴神德11”：您好。

这个P点一定在∠B和∠A二个角的角平分线上

正切∠A＝24÷7＝3.428571429查三角函数表得：∠A＝73°44′

设P点到AB的距离为PE，P点到AB的距离为PF

PEBF是个正方形，PF＝PE

∠EAP＝73°44′÷2＝36°52′

AE＝7-BE＝7-PE

正切∠EAP＝正切36°52′＝0.74991＝PE÷AE＝PE÷（7-PE）

PE＝0.74991（7-PE）

1.74991PE＝5.24937

PE＝2.999794275≈3

答：P点离各边相等的距离为3

体题繁了一点，祝好，再见。

Answer 3

84/19
可以用代数法比较简单。
假设三角形处于一个直角坐标系中，原点为B，AB,BC分别为X,Y轴
因为AC与两轴的交点是（7，0），（0，24）或（0，7），（24，0）这个不影响最后结果。
则AC方程可表示为24x/7+y-24=0

则P点到两轴即AB,BC距离相等，一定有p(x,y)中的x=y=所求距离数值
而且P到AC的距离可以表示为|24x/7+x-24|=x
即24x/7+x-24=x ， 解得x=7 （7，7）在三角形外，舍去此值
或24x/7+x-24=-x ， 解得x=84/19

所以此距离值为 84/19