Question

矩阵初等变换后与原矩阵相等吗

Answer 1

不相等，矩阵经初等变换后与原矩阵不相等，不是同一个矩阵。初等变换除了不改变矩阵的秩，其他所有矩阵的特性都改了。不过得到的矩阵跟原来矩阵等价，但是并不是相同。

两个矩阵相等是指：

1、两个对应矩阵要求同型 (行数与列数相同）

2、两个对应矩阵的对应位置的元素相等

3、两个矩阵的对应分量相同

矩阵经过初等变换以后主要特征：

矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念，任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。

(1)对矩阵A施行行交换变换，设交换矩阵A中某两行得矩阵B，显然B中的任一子式经过行重新排列必是矩阵A的一个子式，两者之间只可能有符号差别，而是否为零的性质不变，因此进行交换变换后，秩不变。

(2)对矩阵A施行行的倍法变换，用k¹0乘矩阵A的第I行得矩阵C，C矩阵的子式或是A的子式；或是A的相应子式的k倍，因而任一子式是否为零的性质不变，所以秩不变。