Question

如何判定三角形全等

Answer 1

  如果两个三角形摆在你面前，凭什么说它们两个全等的？你可能会说三个对应角相等，就说明两个三角形全等呗，不过这可没有那么简单。有人会说把一个三角形剪下来，放到另一个三角形上，如果两个三角形重合，那么就可以判定它们两个全等。这是不太明智的方法，现在既然我们已经学习了数学知识，就需要用高端的数学方法判断两个三角形全等，所以下面我们就来探讨两个三角形全等的条件。

  我们知道，因为全等三角形的形状和大小都完全相同，所以他有一个性质，就是对应边都一样长 ，对应角都一样大，如果把这些条件反过来说，已经知道了两个三角形所有的对应边和对应角都相等，是不是也就说明了这两个三角形全等呢？换句话说，只要我们知道了两个三角形的三个对应边和三个对应角都相等，就可以判断这两个三角形全等。不过这样算起来，三条边加三个角，一共用了六个条件才判断出两个三角形全等。太麻烦了，这么多条件，难道非得如此不可吗？少几个条件行不行？所以我们来想想，能不能从这六个条件里拿掉几个，看看最少需要几个条件来确定两个三角形全等。

  我们先来看条件最少的情况。

  假设只有一个条件，也就是两个三角形，只有一边或一角相等，这两个三角形全等吗？这样肯定不靠谱啊，只满足这一个条件的三角形，可以有无数个，肯定不能判定全等。

  那么两个条件能判定两个三角形全等吗？

  用同样的方法，我们观察到只有两条边相等的三角形，也不一定全等。同样的，如果只有两个角相等，也不能保证三角形是全等的，甚至一边和一角相等的三角形依然不行，那么既然叫做三角形，我们就来试试三个条件的情况下，能否判定全等。

  我们先来看看，三个角都相等的两个三角形是否全等。

  如图所示：

  三个对应角都相等，但是显然两个三角形的大小不同，所以这个否定掉了。

  那我们再换个思路，如果两个三角形的三条对应边都相等，能否判定全等？

  我们之前学过三角形一个重要的性质，就是稳定性。也就是说如果一个三角形的三条边都确定了，那三角形的形状也就跟着确定了，所以如果两个三角形的三组对应边都相等，那么不管三个边怎样组合，组成的三角形都是一样的，这样组成的两个三角形肯定全等，所以三组对应边相等，可以判定两个三角形全等。用符号表示就是（SSS）。

  我们可以继续验证，同样用三个条件，可不可以用边相等和角相等的一些组合来判定三角形全等呢？

  如果一个三角形的两边都相等，那么角的位置可能有两种情况，一种情况是角在两条边的中间，我们把这个叫做边角边。另一种情况那个角是夹角，我们可以把它叫做边边角，通过作图，我们知道如果两边和其中夹角确定的话，只能画出一种三角形，所以可以得出结论，两边和一夹角分别相等的两个三角形全等。这个判定定理可以写作SAS，边角边。

  如图：

  那边边角可以确定两个三角形全等吗？

  通过作图，我们发现边边角不能确定两个三角形全等，如下图所示：

  我们再来看看，如果三角形的一条边确定了，这条边的两个角也固定住，那么在这三个元素确定的条件下，可以画出几个三角形呢？

  我们知道平面内两条直线只能有一个交点，也就是说当两个角固定住的时候，延长两边的反向延长线，他们只能在一个点相交，所以只能画出一个三角形，做不出别的样子来。这样我们也可以得出结论，两个角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。用符号表示就是ASA，角边角。

  如图：

  我们再来看一种情况，在角角边的条件下，两个三角形是否全等？

  以前我们学过三角形的内角和等于180度。当两个角确定的时候，那么第三个角的度数其实也确定下来了，刚才说的角角边的情况相当于又转化到了上一个角边角的推理过程，我们已经证明过了，所以逻辑推理一下两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，也就是角角边，用符号表示AAS。

  以上就是我们探讨的判断两个三角形是否全等的四种情况，分别是，SSS，SAS，ASA，A AS。

  探索完三角形全等的判定，还有更新奇好玩的有关三角形的知识等待我们去发现呢。在小学时我们学过三角形的面积，计算时要用到三角形的高。所谓三角形的高就是从一个顶点出发，向对边做垂线段，它的长度就是从顶点到对边的距离。高不是一个孤立的概念，高是需要和顶点和对应的底边配套的。那么三角形一共有三个顶点，三条边，所以对应的三角形一共有三条高，那么我们会有一个问题？任意三角形三条高所在的直线都相交于一点吗？是的，通过作图，我们发现三条高都相交于一点。这个点我们叫它垂心。

把三角形的一个顶点和它的对边中点连接起来的线段叫做三角形的中线。这条中线把三角形分成了面积相等的两部分，三角形的三条中线也相交于一点吗？答案是的，如果现在有一个三角形的盘子，让你用一根手指顶住他，保持盘子平衡不掉下来，那这个手指该顶在哪个点呢？这个问题可以这样解决，把三角形的三个中线画出来，它们相交于一个点，手指顶住这个点，铁盘子就会保持平衡不掉下来，这个点有个名字，我们叫它重心，可以简单理解为能使物体保持平衡的点，就叫做重心。

我们再来了解一下三角形的另一组特殊线段，也就是三角形的角平分线，那怎么做角平分线呢？首先以一个顶点为圆心画弧，在两边找到两个到顶点距离相等的点，之后再分别以这两个点为圆心画两段弧，找到这两段弧的交点，最后连接三角形的顶点和这个交点，并延长到这个顶点的对边，这样就画出了一条角平分线。再用相同的方法做出另两条角平分线，最后我们发现这三条角平分线就像中线和高线一样，都相交于一点了，于是我们就又得出了一条结论，就是三角形的三条角平分线也是交于一点的。这个点我们叫它内心。

因此，三角形的这三种线段有个共同的特点，就是在同一三角形中高线交于一点，中线交于一点，角平分线也交于一点。

三角形具有稳定性，这个特征被广泛应用于实际生活中，比如盖房子的时候，屋顶的三角钢架，能保证屋顶的结实，我们每天都能看到的自行车，他的车架也是三角形的结构。