抽象代数简介
在中学阶段就学习过集合，部分内容不再赘述。以下是交集、并集、差集的概念：
设 是一个集合，那么 的所有子集为成员构成的几何成为 是 幂集 ，记作 。
设 是两个集合，定义集合
称为 与 的 笛卡尔积 ，又称卡氏积，集合积。
集合 中元素个数称为集合 的 基数 ，记作 。如果 是无限的，则 ，称 是 无限集 ，否则是 有限集 。
集合中的元素相互之间可能有关系（也可能没有关系）。例如全校的学生构成一个集合，某些学生可能是同班同学，那么他们就有关系。
等价关系 ，类似于数集中的“等于”的关系，要求满足：
偏序关系 ，类似于数集中的“大于等于/小于等于”的关系，要求满足：
等价不一定是等于
例如一个学校的学生构成的集合，同班就是一种等价关系。甲乙同班，乙丙同班，那么甲丙同班……
我们把和 都等价的元素构成的集合，称为 等价类 ：
以 的所有等价类构成的集合，称为 关于等价关系 的 商集 。
定义：设 是一个非空集合，满足
那么称 为一个 半群 。
例如，正整数的集合 关于加法运算 是半群，客观上还满足交换律，是“加法半群”。
再如矩阵的乘法满足结合律，但是不满足交换律，所以固定阶数的矩阵也可以看作半群。
定义：设 是一个非空集合，满足
那么称 为一个 幺半群 。这样特殊的元素 被称为“单位元”，记作 。
前文提到的 不是幺半群，因为它没有单位元。
而矩阵有单位矩阵，所以是幺半群。
定义：设 是一个非空集合，满足
那么称 为一个 群 。这里提及的 关于 是唯一的，称其为 逆元 ，记作 。即 。
例如，整数集 关于加法运算 是群，客观上还满足交换律，是“加法群”。
群如果满足交换律，就称为 交换群 ，又称 Abel 群 （阿贝尔群），又称 加群 。
例如，所有的 阶可逆复矩阵构成的集合是一个群，可以称为“n级一般线性群”。
映射在中学阶段已经接触过，此处不表。
若矩阵 自己到自己的映射，称为 的 变换 。用 来记集合 所有变换的集合。 来记集合 所有 可逆 变换的集合。
设 是群， 是从群 到群 的映射，如果这一映射满足
则把这一映射称为 同态 。
如果 是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是 同构 。
定义：设 是一个非空集合，满足
那么称 为一个 环 。
在环的基础上，有乘法单位元 ，称为“幺环”。
定义：设 是一个非空集合，满足
那么称 为一个 幺环 。
在环的基础上，有乘法的交换律，称为“交换环”。
定义：设 是一个非空集合，满足
那么称 为一个 交换环 。
例子
设 是环， 是从环 到环 的映射，如果这一映射满足
则把这一映射称为 同态 。
如果 是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是 同构 。
如果 均为幺环，在同态的基础上，满足 ，则称为 幺同态 。
设 是环， 是它的一个非空子环，满足
则把 称为 的 理想 。
一个非零环 至少有两个理想 和 自身，分别称为 零理想 和 单位理想 ，二者合称 平凡理想 。
对于环 的非零元 ，如果存在另一个非零元 ，使得 ，则称 为左零因子。类似地可以定义右零因子。
在交换环中，零因子没有左右之分。
没有零因子的环，称为 整环 。
整环是交换的，满足消去律的环。
如果 可逆，有唯一的逆元 与之对应。
记 为环 的所有可逆元的集合，这个集合是一个群。
如果一个环 的非零元都可逆，即 ，那么称 为 除环 。
交换的除环称为 域 。
在中学数学中，接触过的有理数集合 、实数集合 和复数集合 都是域。
再例如集合 也是域，它是 的非空子域。
前文提及用 基数 描述集合中元素的个数。但是当集合中元素有无穷多的时候，就有些无能为力。
定义：若集合 和 之间能够建立一个双射，则称这两个集合 对等 ，记为 。
集合之间的对等关系是一种等价关系，满足自反律、传递律、对称律。
和自然数集合 对等的集合称为 可数无穷集 ，简称 可数集 。它需要存在一个和 一一对应的双射。
不和自然数集合 对等的无穷极和，称为 不可数无穷集 ，简称 不可数集 。
整数集合 是一个可数集，把整数如下排列：
可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射 。
偶数集合、完全平方数集合等，都是可数集。
有理数集合 是一个可数集，把有理数如下排列：
可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射 。
平面直角坐标系中，自然数点集 是一个可数集，类似于有理数集合的证法。
代数数集合也是一个可数集。实数集合是 不 可数集合。
和自然数集合 对等的集合是可数集。
类似地，和实数集 对等的集合是连续统。
