Question

为什么椭圆短轴角是最大的

Answer 1

当端点位于椭圆的短轴端点时，与焦点所成角为什么是最大的
顾蕴琦
2021-03-14 08:15:48
赖振国
椭圆上一点和两个焦点连线构成三角形，设两个焦点之间的距离是c，椭圆上的点和焦点的距离分别是a，b，此夹角为θ,(显然0<θ<π)则由余弦定理有

c^2=a^2+b^2-2abcosθ

=a^2+b^2-2abcosθ+2ab-2ab

=(a+b)^2-2ab(1+cosθ)

所以2ab(1+cosθ)=(a+b)^2-c^2

c是两个焦点之间的距离，是个定值。

由椭圆的定义，a+b也是定值，所以(a+b)^2-c^2是个定值，则2ab(1+cosθ)也是定值

因为当0<θ<π时cosθ是减函数，所以ab最大时，1+cosθ可以取到最小值，此时θ最大

Answer 2

椭圆短轴一顶点与长袖端点形成的角最大是圆锥曲线的特质。圆锥曲线中，围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。椭圆与圆很相似。不同之处在于椭圆有不同的x和y半径，而圆的x和y半径是相同的。在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是同一个常数的点的轨迹。这两个固定点叫做焦点。它是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。