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常微分方程组的解的唯一性存在定理及其应用的关键词怎么找

Answer 1

关键词依据:

常微分方程笔记（二） 解的存在唯一性定理

来自专栏BenShui的数学后花园
Picard定理
上次的文章中我们就提到了方程一般无法使用初等积分法去求解，一个很简单的例子是下面这个微分方程[1]



即使形式上这样简单的方程也不存在初等求解的方法.那我们就考虑，这种方程是否有解呢？于是就有了存在唯一性定理.

首先我们先介绍条件：设函数在区域内满足不等式



其中常数.则称函数在区域内对满足条件

定理1.(定理) 设初值问题



其中在矩形区域

内连续，且对满足条件.则在区间上有并且只有一个解，其中常数 

该定理的证明分为以下五步（仅简要叙述）：

初值问题等价于积分方程
迭代构造序列
证明该序列一致收敛，考虑级数利用判别法即可证明其一致收敛
证明该序列的极限是的解.等式两边取极限即可
证明唯一性.假设存在两个解，做差证明极限为
对于一般的微分方程



只要能够判别函数在某个区域内连续并且对有连续的偏导数（或满足条件），我们就可以断言在区域内经过每一点有并且仅有一个解.例如方程，我们就很容易判别它在上经过每一点有且仅有一个解.

下面介绍一个比更弱的条件：条件：

设函数在区域内连续，而且满足不等式



其中是的连续函数，并且瑕积分



其中为常数.则称在内对满足条件.

容易看出条件是条件的特例，因为满足上述要求.

定理2.(定理) 设在区域内对满足条件，则微分方程在内经过每一点的解都是唯一的.

我们用一道例题，巩固一下序列的构造过程

例1. 试求初值问题的序列，并由此取极限求解.
【解】



故



所以方程的解为



Peano存在定理
定理3 设函数在矩形区域内连续，则初值问题



在区间上至少有一个解，这里矩形区域和正数的定义同定理.

为了证明这个定理，我们首先引入欧拉折线的定义.先将区间分为等分，每份的长度为，则分点为



然后从初始点构造序列，即



由此我们就得到了一条连续的折线



称为初值问题的欧拉折线.

此外我们还需要引理：设函数序列



在有限闭区间上式一致有界和等度连续的，则可以选取它的一个子序列



使它在区间上是一致收敛的.

由此我们知道证明存在定理的方法，取欧拉折线序列证明其一致收敛，再证明收敛的极限函数是微分方程的解即可.

解的延伸
在之前的定理中，我们只讨论了局部范围内的性质，现在我们要讨论这解在大范围内的存在性.

定理4 设为区域内任一点，并设为微分方程



经过点的任一条积分曲线，则积分曲线将在区域内延伸到边界.

首先我们设微分方程经过的解有如下表达式：



其中表示的最大存在区间.我们考虑在右侧的延伸情况，令，证明了既不可能是有限闭区间，也不可能是有限半开区间，于是必为，从而积分曲线在点的右侧将延伸到无穷远处；同理可证，其在点的左侧也将延伸到无穷远处.

由定理1和定理4立即得到

推论 设函数在区域内连续，而且对满足局部条件，则微分方程



经过内任一点存在唯一的积分曲线，并且在内延伸到边界