Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．？

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）把函数解析式提取 2 后利用两角和的正弦化积，然后直接取x=[π/12]求得f（[π/12]）的值；
（Ⅱ）由二倍角的余弦公式可知g（x）=cosx-sinx，化积后利用余弦型复合函数的单调性求函数g（x）的单调区间．
（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=
2sin(x+
π
4)，
∴f(
π
12)＝
2sin(
π
12+
π
4)＝
2sin
π
3＝

6
2；
（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．
下面给出证明：
∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
∴g（x）=cosx-sinx符合要求．
又∵g（x）=cosx-sinx=
2cos(x+
π
4)，
由2kπ+π＜x+
π
4＜2kπ+2π，得2kπ+
3π
4＜x＜2kπ+
7π
4，
∴g（x）的单调递增区间为(2kπ+
3π
4，2kπ+
7π
4)，k∈Z．
又由2kπ＜x+
π
4＜2kπ+π，得2kπ−
π
4＜x＜2kπ+
3π
4，
∴g（x）的单调递减区间为(2kπ−
π
4，2kπ+
,1,已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（[π/12]）的值；
（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．