Question

第一张图第10题，第二张图第二个画波浪线的地方，为什么说Q为正交可逆矩阵就有Q^(-1)AQ=∧ 呢？

第三张图中定理五只是说当矩阵为n阶对称矩阵时才有Q^(-1)AQ=∧，但这里证明必要条件时并不知道他为对称矩阵。

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Answer 1

看前面的文字，β1,β2,β3是矩阵A的三个正交的特征向量，这里有两个信息。

1. 这三个是特征向量，所以 A=QUQ^(-1)

2. 这三个矩阵是正交的，那么就使得Q^(-1)=QT

在这两个前提下，再证明AT=A即可。就是如图的证法

追问

您的回答中，为什么说“这三个是特征向量，所以 A=QUQ^(-1)”呢？

追答

我打不出那个对角矩阵的那个字母"^"。所以用U来代替. 就是说A可对角化，用如图的形式表示。

追问

我主要不明白为什么是特征向量就有 A=Q∧Q^(-1)，我也没在教材上找到这个结论。

追答

这不就是对角矩阵的变换过程吗？U =P^(-1) A P, U为对角阵，那么 A=PUP^(-1)