Question

有限覆盖定理证明聚点定理

Answer 1

有限覆盖定理证明聚点定理：对于满足聚点的X，那么对任意r大于0，都存在有限点集(xk)，满足X等于所有B'(xk，r)的并集。

聚点定理，也称为维尔斯特拉斯聚点定理，定量内容是：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。该定理的一般形式（又叫致密性定理，波尔查诺维尔斯特拉斯定理）可描述为：有界数列必有收敛子列。

聚点定义：

设S为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S，也可以不属于S）。若ξ的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点，则称ξ为点集S的一个聚点。对于点集S，若点ξ的任何ε邻域内都含有S中的异于ξ的点，或点ξ的任何ε去心邻域内都含有S中的点，则称ξ为S的一个聚点。

聚点定理的定律影响：

作为分析学早期的经典定理之一，维尔斯特拉斯定理成为了分析的基础，是研究实数的几何性质的重要工具，后来，因为它是很多拓扑空间所共有的性质，终于使数学家修正了聚点的原始定义，赋予它拓扑含义，进而建立了列紧性的概念。

所谓列紧性就是指：对于距离空间X中的集合M，M的任何序列都含有一个收敛的子序列（这个子序列的极限未必还在M中），列紧性成为衡量距离空间“好坏”的一个重要标准，是研究距离空间的重要几何概念，维尔斯特拉斯聚点定理的推广也可以称为数学定理公理化的一次完美的实践。