Question

已知集合A的元素全为实数，且满足：若a属于A则(1+a)/(1-a)属于A。

证明(1)、A中没有元素-1,0,1.
（2）、A中有4个元素，且每两个互为负倒数。
第二问元素互异是不也得证一下，怎么证呢？

Answer 1

(1)假设A有元素0，则(1+a)/(1-a)也属于A，即1属于A,如果1属于A，则(1+a)/(1-a)也属于A，但是1-a等于0(分母为零)，所以没有元素0,1
假设A有元素-1,则a=-1时，由已知的(1+a)/(1-a)=0也属于A，即0属于A由上式知，0不属于A，矛盾！，即-1不属于集合A，故没用元素-1
总上述A中没有元素0,-1,1
(2)设a属于集合A，则(1+a)/(1-a)也属于A；因为(1+a)/(1-a)属于A，则[1+(1+a)/(1-a)]/[1-(1+a)/(1-a)]也属于A，即-1/a也属于A；因为-1/a也属于A。则[1+(-1/a)]/[1-(-1/a)]也属于A,即(a-1)/(a+1)也属于A，
又因为a·(-1/a)=-1，(1+a)/(1-a)·(a-1)/(a+1)=-1,则A中两个元素互为负倒数

Answer 2

（1）由于a∈A,(1+a)/(1-a)∈A
有a≠1
则A中没有1，
当a取0时，(1+a)/(1-a)=1不在A内，也就是0不在A内
当a取-1时，(1+a)/(1-a)=0，由上知，-1也不在A内；
因此，A中没有元素-1、0、1
（2）因为a∈A；(1+a)/(1-a)∈A
（1+(1+a)/(1-a)）/（1-(1+a)/(1-a)）=-1/a也∈A
又（1-1/a）/（1+1/a）=-（1-a）/(1+a)
也就是说，A中有4个元素，有每两个互为负倒数