Question

证明n的1/n次方的极限为1

用定义证明

Answer 1

设a=n^(1/n)，∴a=e^(lnn/n)。

∴lim(n→∞)a=e^[lim(n→∞)lnn/n]。

而，lim(n→∞)lnn/n属“∞/∞“型，用洛必达法则，∴lim(n→∞)lnn/n=lim(n→∞)1/n=0。

∴lim(n→∞)n^(1/n)=e^[lim(n→∞)lnn/n]=e^0=1。

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。

扩展资料：

极限公式：

sinX/x →1（ x→0 ）。

 (1+1/x)^x→e^x（ x→∞）。

等价无穷小：
sinx ~ tanx ~ arctanx ~ arcsinx ~ e^x-1 ~ ln(1+X)。

~ (a^x-1)/lna ~[(1+x)^a-1]/a ~x（ x→0）。

1-cosx ~ x^2/2（ x→0）。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

本题中, n趋向于什么，没有说明。

下图根据两种可能证明：一种是1，这应该是本题的题意。另一种为0。

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Answer 3

显然n>1时，n^(1/n)>1
设n^(1/n)=1+an，则an>0 ,（n>1)
|n^(1/n)-1|=an
n=(1+an)^n
右边用二项式定理展开得
n=1+nan+n(n-1)/2*an^2+...an^n
>1+n(n-1)/2*an^2
0<an<√(2/n)
即 0<|n^(1/n)-1|<√(2/n)
对任意的ε>0
取N=[2/ε^2]
n>N时
|an|<√(2/n)<√ε^2=ε
所以n^(1/n)极限时1

Answer 4

n趋向于什么？∞？

证明：

lim(n→∞)[n^(1/n)]
=lim(n→∞)e^{ln[n^(1/n)]}
=e^lim(n→∞)[(1/n)lnn]
=e^lim(n→∞)(1/n) ........ L'Hospital 法则
=e^0
=1

证毕