Question

为什么曲面积分要用高斯定理

Answer 1

想象有一个碗放在桌子上，开口向上，并建立直角坐标系；桌子平面为z=0，平面；碗里面的面为上侧曲面；向桌面投影后面积为正值，投影面就是一个圆；碗外面的面为下侧曲面；向桌面投影后面积为负值。

现在找一个纸板盖住碗口，z=1平面与碗的曲面相交；对于闭合曲面可以构成一个空间闭合区域；外侧就是指能摸到的那一侧；等于碗的外面，和纸板的上面，共同构成外侧；所以，在曲面积分中利用高斯定理时，一定要构造闭合曲面；

第一型曲面积分应该是标量型曲面积分，如在一空间曲面上分布着各点密度不同的质量、电荷分布，通过第一型曲面积分可求出该曲面的总质量或总电荷数等，变换一下也可以用于求体积。

第二型曲面积分应该是矢量型曲面积分，如在一空间曲面上分布着的各点，其各点的运动速度、在不均匀力场（重力场基本为均匀力场、电磁场有时为不均匀力场）各点的受力大小方向均不同，通过第二型曲面积分可求出整体的流量、及在力场中的受力方向及大小。