Question

函数的无穷大，有界，无界，极限怎么区分？

有界是否就意味着有极限呢？
还有无穷大是不是：无界所以就无穷大？
看看这个题目;到底是否有界，是否无穷大？原因···

Answer 1

函数的值区别：

无穷大：函数的值无止境的大下去，无限度地大下去。但是，不可以正负无穷大之间波动。

有界： 函数的值在一个范围内。

无界： 函数的值不在任何范围内。

极限： 函数的值逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”A值就是界限。

扩展资料：

1、微积分介绍：

（1）微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。

（2）微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等。

（3）积分学的主要内容包括定积分、不定积分等。

（4）从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。

2、冯·诺依曼对微积分的评价：

微积分是现代数学的第一个成就，而且怎样评价它的重要性都不为过。

微积分比其他任何事物都更清楚地表明了现代数学的发端；而且，作为其逻辑发展的数学分析体系仍然构成了精密思维中最伟大的技术进展。

3、阿蒂亚对微积分的评价：

人们要求降低微积分学在科学教育中的地位，而代之以与计算机研究关系更密切的离散数学的呼声日渐高涨。

许多离散现象的重要结果还是通过使用微积分才得到了最好的证明。直到现在，分析无穷性的微积分学的中心地位仍然是无可争议的。

参考资料来源：百度百科-极限

参考资料来源：百度百科-无界函数

参考资料来源：百度百科-有界函数

参考资料来源：百度百科-无穷大

参考资料来源：百度百科-微积分

Answer 2

解答:

无穷大：越来越大，无止境的大下去，无限度地大下去。但是，不可以正负无穷大之间波动。

有界： 有一个范围限制函数的值域。

无界： 没有一个范围可以限制，一会儿往正无穷大波动，一会儿往负无穷大波动。

极限： 越来越趋向于一个固定值，函数值与固定值之差的绝对值趋向于无穷小。
例外：如果单调地趋向于正无穷大，我们也说极限是正无穷大；同样地，
如果单调地趋向于负无穷大，我们也说极限是负无穷大。
但是，如果一会儿正，一会儿负，绝对值趋向于无穷大，
也就是在正负无穷大之间波动，我们说“极限不存在”。

x趋向于0时，1/x²趋向于无穷大；sin(1/x)是有界的，在±1之间，但不是无穷大。

Answer 3

根据定义来吧，无穷大也是极限的一种，
A有界是指 存在与A无关正实数M，对A的所有可能取值都有|A|<M，如你给的题目中为 A = 1/(x^2)*sin(1/x),x趋于0，可取x=1/((4n+1)*pi/2),n为正整数趋于正无穷。A = ((4n+1)*pi/2)^2,可以取到任意大的值，所以它是无界的。但是不能说是无穷大，无穷大是一个极限概念，题中x=n,则A = 1/n^2*sin(1/n) 是有限数，这样A在x趋于0的极限本身就不存在，就不能提无穷大了。
1.有界和有极限没有必然联系。如数列1,-1,1,...,(-1)^n,...有界但极限不存在！而1，2，3，4，...，n，...你也可以说它的极限为正无穷！
2. 无界不一定是无穷大，但是无穷大一定无界。
上面说了无穷大是一个极限概念，需要无限个、有顺序要求的可以任意大的数，而无界则只需一个就足以说明。
3.题目无界但不是无穷大。无界是因为可以找到一个x趋于0的方式(如 x=1/((4n+1)*pi/2))，使得函数值可以任意大，不是无穷大是因为函数本身在x趋于0的时候没有极限，谈不上无穷大这个概念。

Answer 4

有界是否就意味着有极限呢？
【当然不是，对正确的命题需要加以证明，对如下不成立的性质，数学上通过举出反例说明；不学习反例，基础概念你永远是笔糊涂账；
下面两个反例你需要仔细研究一下，要自己画个图形，
1：书上一般都有，在 x=0 附近无限震荡；
2：同1）但注意振幅不是1，而是无穷大量 1/x^2】

极限存在 ====》 有界 【定理】
有界 =×=》 极限存在 【如1：lim(x->0) sin(1/x) 震荡无极限】

无穷大量 ====》 无界 【参考定义，无穷大是全称“任意”，在0点附近 的所有函数值都满足不等式 |f(x)|>M】
无界 =×=》 无穷大量 【而无界定义是特称"存在"，附近有函数值满足 不等式 |f(x)|>M；参考上述你举的例子，存在无法推出任意】

简单说下，给你的这个函数，在 0 点附近，
1)必有无穷多个 零点：f(1/(nπ))=0
2)又有无穷多个函数值无限增大的点 ：f(1/(2nπ+π/2) =(1/(2nπ+π/2)^2
故而函数值无界：f(1/(2nπ+π/2) =(1/(2nπ+π/2)^2 ——》∞，
但又不是无穷大量 f(1/(nπ)) = 0

Answer 5

有界不一定有极限
无界也不一定就无穷大,具体要看实际情况,如LIM X, X本身是无界的,但这一题 X->0
却有极限,

所给题目中,一个为无穷大,一个为有界,所以结果为无穷大.