Question

为什么无穷小乘有界函数就是无穷小，而无穷大乘有界函数就不一定是无

为什么无穷小乘有界函数就是无穷小，而无穷大乘有界函数就不一定是无穷大

Answer 1

因为0是一个特殊元素，再大的无穷大量一旦遇到0，乘积就是0了，就无法再是无穷大，而有界量一旦包含了0，并且总是能取到0。

有界函数并不一定是连续的，根据定义在D上有上（下）界，则意味着值域(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由 (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

例子：

由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上，则不再是有界的。 函数 （x不等于-1或1）是无界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。但是，如果把函数的定义域限制为[2, ∞)，则函数就是有界的。

任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

Answer 2

因为无穷小量是趋于0的，而0乘以任意确定的数都得到确定的0，0是可以比较大小的，这样由夹逼定理得到极限依旧是0。
但是无穷大量却是不定的量，无法比较大小，也就无法确定极限。无穷大乘有界函数的极限可能是有限的数，可能还是无穷大，也可能不存在。

Answer 3

无穷大乘有界，比方说x趋于无穷，xsinx的图像是震荡的，并且振幅越来越大，它是非无穷大的无界函数。注意，无穷大指的是值无限大，但是xsinx当x很大时，它还会取到0，所以不是无穷大。

无穷小乘有界，无穷小指的是无限接近0，0乘任何数等于零。
不知道这样你明白了吗。

Answer 4

给你举个例子吧、好理解一点。
比如 lim x->∞ x·sinx
这就是无穷大乘以有界函数，然而当x = kΠ的时候为0，所以整个也为0，这时候自然不是无穷大了

Answer 5