Question

初三几何题. 已知在⊙O中,弦AB的长是半径OA的√3倍,C为⌒AB的中点,求证四边形OACB为菱形.

已知在⊙O中,弦AB的长是半径OA的√3倍,C为⌒AB的中点,求证四边形OACB为菱形.

Answer 1

设⊙O的半径为R，则AB＝√3R，
联结OC，交AB于点P，
∵点C是⌒AB的中点，
∴OC⊥AB，且AP＝BP，（平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦）
∵AB＝√3R，
∴AP＝1/2AB＝√3R/2，
在RT△AOP中
∵sinAOP＝AP/AO＝（√3R/2）/R＝√3/2，
∴∠AOP＝60°，
又∵AO＝CO，（都是圆的半径）
∴△AOC是等边三角形。（有一个角是60°的三角形是等边三角形）
∴AC＝AO＝OC
同理，
△BOC也是等边三角形，
∴BO＝BC＝OC，
∴AC＝AO＝BO＝BC，
∴四边形OACB是菱形。（四条边都相等的四边形是菱形）

Answer 2

连接oc，利用垂径定理和直角边等于斜边的一半所对的角是30度可证得，OAC是60度，就行了