Question

{[ln(n+1)]/(n+1)}^(1/n)的上极限为什么等于1？

Answer 1

要求表达式的上极限，我们可以先对其取对数，然后利用极限的性质进行计算。
设函数 f(n) = ln(n+1)/(n+1)^(1/n)，我们要求 f(n) 的上极限。
首先，对 f(n) 取对数得到 ln(f(n)) = ln[ln(n+1)/(n+1)]^(1/n)。
然后，我们利用指数的性质将 ln(f(n)) 写成极限形式：
ln(f(n)) = (1/n) * ln[ln(n+1)/(n+1)]
接下来，我们可以利用极限的性质进行处理。注意到当 n 趋向于正无穷时，ln(n+1)/(n+1) 也趋向于 0。因此，ln[ln(n+1)/(n+1)] 也趋向于负无穷。
由此，我们可以得到：
ln(f(n)) = (1/n) * ln[ln(n+1)/(n+1)] -> 0
所以，f(n) = e^(ln(f(n))) -> e^0 = 1。
因此，根据极限的性质，{[ln(n+1)]/(n+1)}^(1/n) 的上极限为 1。

Answer 2

你的问题涉及到极限的概念。在数学中，一个函数或者序列的极限定义为：当自变量趋于某个值时，函数或序列的"趋势"或"大小"如何变化。现在我们来讨论你的表达式 [ln(n+1)/ (n+1)]^(1/n)。首先，我们需要明确一点，这个表达式在 n 趋于无穷大时的行为。我们知道，对于自然对数 e 的底数和指数函数，有一些特殊的性质。例如，e^x 在 x 趋于无穷大时，其增长速度非常快，可以近似为无穷大。同样，自然对数 e^x 在 x 趋于零时，其增长速度也非常快，可以近似为零。因此，我们可以将 [ln(n+1)/ (n+1)]^(1/n) 这个表达式简化为 [ln(n+1)]^(1/n),然后再考虑它在 n 趋于无穷大时的极限。注意到，[ln(n+1)] 是关于 n 的增函数，因此它的导数是 1/(n+1)。这意味着 [ln(n+1)] 在 n 增加时会以固定的速度变大。因此，当我们将 [ln(n+1)]^(1/n) 视为一个序列的时候，我们可以看到随着 n 的增大，该序列的项会越来越接近 e^(1/n),而 e^(1/n) 又是一个常数。因此，[ln(n+1)]^(1/n) 在 n 趋于无穷大时，其极限就是 e^(0) = 1。所以，[ln(n+1)]^(1/n) 的上极限等于 1。