Question

已知一元二次方程a(b－c)x2+b(c－a)x+c(a－b)=0有两个相等的实根，求证：1/a, 1/b，1/c 成等差数列.

Answer 1

∵a(b-c)x^2+b(c-a)x+c(a-b)=0有等根
∴Δ＝[b(c-a)]^2-4[a(b-c)][c(a-b)]=0
a^2b^2+b^2c^2-2acb^2
-4bca^2+4acb^2+4a^2c^2-4abc^2=0,
a^2b^2+b^2c^2+2acb^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc)^2-4ac(ab+bc)+4a^2c^2=0
(ab+bc-2ac)^2=0
∴ab+bc-2ac=0,
ab+bc=2ac，两边同除以abc得：(1/c)+(1/a)=2/b,
∴2/b=1/a+1/c
∴1/a,1/b,1/c成等差数列

Answer 2

有2个相等实根，则
Δx = b2*(c-a)2-4*a*c*(a-b)*(b-c) = 0;
化简后 b2*c2 + a2*b2 + 4*a2*c2 + 2*b2*a*c - 4*a2*b*c - 4*a*b*c2 = 0
得到完全平方 (bc + ab -2ac)2 = 0
所以 bc - ac = ac - ab
两边同除以abc,得 1/a-1/b = 1/b-1/c
得证。

Answer 3

观察x=1是方程的解
所以x1=x2=1
对称轴-b（c-a）/2a(b-c)=1
化解的
1/a+1/c=2/b
得证

Answer 4

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